תוכנית הלימודים בחינוך ולדורף

מבוא | אדם ואדמה | אמנות הדיבור | אוריתמיה | אמנות – ציור | אמנות – רישום, גרפיקה | גאוגרפיה | היסטוריה | חשבון ומתמטיקה | כימיה | מדעי החיים | מוזיקה | מלאכות יד | עברית ולשון | פיזיקה | תנ"ך

מתמטיקה

לימודי המתמטיקה בבית-ספר ולדורף נחלקים לשלושה שלבים. בראשון, הנפרש על פני חמש הכיתות הראשונות, מתמטיקה מפותחת כפעילות שקשורה אינטימית לתהליכי החיים של הילד ומתקדמת מהאלמנט הפנימי לעבר החיצוני. בשני, מכיתה ו' עד ח', הדגש העיקרי הוא על היסוד המעשי. מכיתה ט' ואילך מתרחש מעבר לנקודת-מבט רציונאלית.

(ה. פון באראוולה, מורה המתמטיקה הראשון בבית-ספר ולדורף בשטוטגרט, על הטיפול בנושא זה בספרו "הוראת מתמטיקה ותכנית-הלימודים בבית-ספר ולדורף)[1]

שלב ראשון (כיתות א' עד ה'):

כאן יש להשיב על שתי שאלות:

  1. כיצד לטפל במושגים המתמטיים הראשונים?
  2. מהו הבסיס הפסיכולוגי שעליו נבנים מושגים אלה?

שאלה ראשונה: בדיקה מדוקדקת מעלה כי הוראת מושגי חשבון וגיאומטריה קשורה למקום בו נפגשת התודעה עם פעילות אורגניזם התנועה בילד. ספירה היא תנועה פנימית, דרכה ניתן להתבונן בתנועה חיצונית. שוברט מכנה זאת "התוכן החושי של הוראת מתמטיקה".[2] תוצאות מחקרי פיאז'ה על התפתחות האינטליגנציה בילדים מצביעות גם הן בכיוון זה, ילדים צעירים מבצעים עדיין תנועות כשברצונם לקשר דבר אחד לאחר. מכל מקום, תנועות אלה קשורות לאובייקטים פיזיים, מהם הילדים בקושי יכולים להשתחרר, אם בכלל.

וזה מוביל לשאלה השנייה: אם התפתחות המושגים המתמטיים מתרחשת בשלב המוחשי, בו הילד הצעיר עדיין חי לגמרי בתנועה ובדימויים פנימיים, מטרתנו אינה אמורה להיות "הכללה והפשטה", אלא "הפיכה לקונקרטי והתבוננות במקרים אינדיבידואליים."[3] מטרה זו מגדירה את האמצעים בהם אנו יכולים להשתמש על מנת שנימנע מלעמת את הילד עם מבנים לוגיים מופשטים שאינם מתאימים לגילו. כך גם נוכל לפתח את מלוא יכולתו להתנסות מלאת חיים ותנועה במתמטיקה. נוכל לדוגמא להתייחס לתחום רישום הצורות[4] שבאמצעותו אנו מזינים ומתרגלים את התודעה הנחוצה לשימוש במתמטיקה. התנסות זו בצורה ואחר-כך בפעילות פנימית מדמה מהווה בסיס והכנה לכניסה בריאה ל'שלב הפעולות הפורמאליות' (פיאז'ה). הכלל 'מן היד, דרך הלב אל הראש' (אליו התכוונו באומרנו למעלה 'לפתח את מלוא יכולתו'), מאפשר לילדים להביא את יכולותיהם לידי ביטוי. "ברור כי השאלות הטובות והפוריות ביותר לגבי מושגים והסברים באות מתלמידים, שאינם מעלים אותן מתוך זריזות אינטלקטואלית, אלא מתוך יכולת למעורבות רגשית, שמאפשרת לצלילות להיכנס לחשיבה."[5]

לגישה קונקרטית זו למתמטיקה בשלב בית-הספר היסודי עלינו להוסיף דבר, שאינו תלוי באלמנט התנועתי. זוהי האיכות, ניתן לומר הזהות, של המספרים האינדיבידואליים. כשם שהדגש המובא לעיל הוא על גישה כמותית למספרים, כתוצאה של הפוגה קצרה בתנועה או בהתבסס על התנועה עצמה, כך עלינו ליצור מבוא למושגים מספריים איכותיים לצד אלו הכמותיים. אנו מתקרבים לאיכויות אלו על-ידי בחינה של דוגמאות רבות בהן המספר הנידון באמת פעיל בעולם. כך לדוגמה מוצאים את המספר חמש בפרח הוורד. אנו מתכוונים כאן לתשוקה של הילד לשאול מה נמצא מעבר לעולם הנראה, הווה אומר, לחפש מה טמון מעבר לתופעות. מדען הגרעין ו. הייטלר (W. Heitler) התייחס לכך בהרצאה שנשא: "יש לכוון את תשומת-הלב לתופעות איכותיות, לאפיונים שבהם יש משהו הקשור בטוטאליות של האובייקט הנצפה". שטיינר ממליץ לקחת זאת כנקודת-מוצא למבוא בכדי ללמד את המושגים של המספר עצמו.

הגענו בהדרגה לנקודה בנתיב של הציוויליזציה שלנו, בה אנו יכולים לעבוד עם מספרים באופן סינטטי. יש לנו יחידה אחת, יחידה שנייה, יחידה שלישית ואנו נאבקים כשאנו סופרים באופן מחבר ומצרפים את האחת לשנייה, כך שהאחת נחה לצד השנייה. אנו יכולים להיות משוכנעים כי ילדים אינם פוגשים זאת עם הבנה פנימית. בני-אדם בעבר לא פיתחו ספירה בדרך זו. הספירה החלה מהאחדות. שניים לא היה חזרה חיצונית של יחידה, אלא היה מצוי בתוך האחדות. האחד נתן לנו שניים, והשניים היה מוכל באחד. האחד, בהתחלקו, נתן לנו שלוש, והשלוש היה מוכל באחד. אם היינו כותבים את המספר אחד, מתורגם למונחים מודרניים, האחד לא היה יכול לעזוב את האחד ולעבור לדוגמה לשניים. זו הייתה תמונה אורגנית פנימית בה השניים באו מתוך האחד ושניים אלו היו מוכלים באחד, כך גם השלוש וכן הלאה. האחדות הקיפה את הכול והמספרים היו חלוקות אורגניות של האחדות.[6]

דרך איכותית זו להסתכל במספרים מובילה לספרות הכתובות, לסמלים. זו תמונה שונה מהתמונות בהן עושים שימוש בלימוד האותיות, אלו הן תמונות של איכויות המספרים. התמונה שייכת לישות המספר, לא לצורה הסמלית החיצונית. בשלב זה אנו מצביעים על נקודה נוספת של הוראה 'מכוונת לאיכות': היום במיוחד, כאשר אנו מתמודדים עם תוצאות השקפת-העולם הכמותית בקטסטרופה ובהרס האקולוגיים, חשוב במידה הולכת וגוברת להתחיל בדרך זו את הוראת המתמטיקה.

אנו מתחילים אם-כן עם איכויות קונקרטיות של מספרים ובעבודה עם מאפייני תנועה בספירה ובחישוב. כך מפתחים הילדים סוג של אינטליגנציה, שמחפשת ואף מוצאת את הדרך למציאות.

זה מביא אותנו אל השלב השני (הציטוט במבוא של ברוואלה) בגישה להוראה מתמטית שאופיינה לעיל. כאן עלינו לעסוק בשימושים מעשיים של החישוב.

במידה והחישוב תורגל ביסודיות מספקת במהלך השלב הראשון (כיתות ראשונות של בית ספר יסודי), כמתואר, הרי שהחישוב היישומי יקבל גם הוא צביון איכותי. כוחות האינטליגנציה בהם עושים שימוש במתמטיקה עסקית כמו גם באחוזים ובריבית אינם חסרי משמעות אלא יכולים לשמור על צביונם עבור בחינה ושיפוט מאוזנים. בהקשר זה ניתן להצביע על הצעתו של שטיינר, שיש ללמוד יסודות של הנהלת-חשבונות בשיעורי מתמטיקה. בכדי להבין את הרעיון הכללי מאחורי הנחייה זו, ראוי לשאול אלו כישורים עשויים להתפתח על-ידי הנהלת-חשבונות. כך יתגלה יותר מכל כיצד שיטת מסחר מוסרית יכולה להסתייע באורח מכריע באמצעים שכאלה. כל אותם נושאים יכולים להוביל אותנו למטרות חינוכיות נוספות: גמישות פנימית שמובילה לפיתוח הדמיון עבור פתרון בעיות מתמטיות.

באמצעות התנסות באיכויות המספרים חווים הילדים אמון וביטחון: מספר, עולם ואדם שייכים זה לזה. הילדים יחוו ביטחון נוסף על-ידי מתן פתרונות נכונים לבעיות. הם זוכים בכך לעצמאות מסוימת. "מסיבה זו מתמטיקה היא פעילות הולמת לשחרור ילדים מכבלים של סמכות, גם אם הם תלויים תחילה בסיוע המורה."[7] מטרה חינוכית אחרונה, שאין לגרוע מערכה ושקשורה בזו שלפניה, הנה: חישוב אינו אפשרי ללא תרגול קבוע. במיוחד בשלב השני (כיתות ו' עד ח') התרגול חשוב ביותר ומהותי להעמקה ולהתנסות מלאת משמעות בתחום. הוא גם הופך אמצעי נפלא להכשרת הרצון התחומים אחרים.

הצגה מבוארת של השלב השלישי (הציטוט במבוא של ברוואלה) תינתן תחת הכותרת 'אספקטים ומטרות כלליים. כיתות ט'-י"ב'. לכן הושמטה כאן.

גיאומטריה שמהווה חלק מהוראת מתמטיקה מתחילה בכיתות ה'-ו' ונלמדת בדרך-כלל בתקופות לימוד נפרדות. אחת מן התכליות העיקריות של נושא זה היא לפתח ולהזין את היכולת להמחשת המרחב ולפיתוח כוחות הדמיון.

תחום רישום הצורות בכיתות א' – ד' מכין כיאות את הקרקע לעבודה מבוקרת עם תנועה מכוונת ויכולת הערכה של פרופורציות ויחסים המתורגלות תחילה על-ידי גיאומטריה ביד חופשית.

חשבון בכיתות א' – ג'

הדינמיות של פעילות הרצון חייבת לעבור הפנמה על-ידי ההתנסות בספירה. ילדים בכיתות אלו קשורים ביותר לפעילות, לעשייה ולריתמוס, התנסות בספירה בצורות שונות מהווה תשובה חינוכית מצוינת לצורכי הילדים. במקביל כדאי לעורר מוטיבציה על-ידי תיאור תמונתי של איכויות מספריות. היבט דואלי זה חשוב: מצד אחד הוא מחנך את החושים הגופניים על-ידי התנסות במגוון תנועות, גסות ועדינות ותרגילי קואורדינציה, ומצד שני מתרחשת הפנמה של התנועה הגופנית לפעילות נפשית (כלומר חישוב). האמצעי המרכזי להשיג זאת הוא שימוש בתמונות. באמצעות תמונות, ילדים יכולים לתפוס פנימית את הכוונה. סמליות טהורה, הצגה לוגית, לעולם לא ישיגו זאת. (למרות זאת חשוב תמיד להיות מודעים לכך, שחישוב מכוון את הנפש לעולם לא תמונתי, בניגוד ללימוד אותיות האלפבית) בכדי לפתח יכולת לטפל בחופשיות במספרים כמותיים, יש ליצור מרחב מספרי פנימי, שבו לומדים לנוע, בתחילה באופן ריתמי עם תבניות ספירה מגוונות. ניתן להשיג זאת, בנוסף לאמצעים אחרים, תוך פיתוח הזיכרון על-ידי לימוד לוחות הכפל דרך תנועה ריתמית (למשל, בשילוב עם מחיאות כפיים, העברת שקיות שעועית, דילוגים, קפיצה על חבל וכדומה).

חשוב לשמור בתודעה את העיקרון 'מהשלם לחלקים'. משמעות הדבר היא כי נוצר קשר נכון בין חשיבה אנאליטית לסינתטית. רצוי להתחיל תמיד עם תרגילים שיוצאים מהסכום אל החלקים ורק אחר-כך להפוך את הסדר. את העבודה עם הטמפרמנטים יש לעצב במובן שניתן בשיחה הרביעית ב"שיחות עם מורים".[8] בסיום כיתה ג' על התלמידים לרכוש תפיסה בוטחת ומבט צלול של מספרים עד 1020 לפחות.  אין הכוונה רק לכמות או להיקף אלא בה במידה גם לאיכות המספרים.

הצעות לתוכן:

 כיתה א'

בשיעורי מתמטיקה הגישה היא אנאליטית (כנזכר במבוא של שטיינר הניתן למעלה). שעה שמתחילים בספרה אחת כאחדות, יש להביא מספרים (סמלים) מאחד עד עשר באופן איכותי (ראה מבוא לעיל), שכלולים כריבוי בתוך האחדות. בספרות הכתובות ניתן להתחיל עם ספרות רומיות שהנן פחות מופשטות מן הערביות[9]. לחילופין, ניתן ללמד את הספרות הערביות עם תמונות כמו באותיות האלפבית.

תכנים אפשריים:

כיתה ב'

כיתה ג'

רשימת הישגים לכיתות א'-ג' – ידיעת חשבון

מרבית הילדים בטווח היכולת הרגיל מסוגלים ל:

מספרים

א' – עבודה עם ארבע הפעולות החשבוניות וסמליהן + – ×  ÷ (בכתב ובע"פ)

א' – הערכת איכויות מספריות מ-1 עד 12

א' – הבנת ספרות רומיות  X- I וספרות ערביות מ-1 עד 100

א' – ספירה מ-1 עד 100

א' – הכרת הקשרים מספריים עד 10

א'-ב' – הבנת השוני בין מספרים אי-זוגיים וזוגיים

א'-ג' – עבודה עם לוח הכפל מ-1 עד 12

א'-ג' – יישום חשבון פשוט בעל-פה בצורה סיפורית תוך שימוש ביכולות הנזכרות לעיל

ב' – ידיעת הקשרים מספריים עד 20

ב'-ג' – זיהוי, ניתוח וספירה עד 1000

ב'-ג' – עבודה עם הלוחות לחילוק (24 שנחלקים ל-6 הם 4)

ב'-ג' – ידיעת תבניות בלוח הכפל 10, 9, 5, 4, 11

ב'-ג' – שימוש בערכי-מקום עשרוניים עבור ארבעה מקומות

ב'-ג'- כתיבת פעולות חיבור וכפל במאונך.

ג' – יכולת לדקלם את לוח הכפל 1-12 במקהלה ואינדיבידואלית

מדידה

ב'-ג' – שימוש בכסף לחשבונות פשוטים וחישוב עודף

ג' – לומר את הזמן בשעות, חצאי שעות, רבעי שעות ושעון של 12 שעות (שעון אנלוגי)

ג' – את המושג (המופשט) של מטר, סנטימטר, מילימטר ומדידות באמצעותם

ג' – את המושג של קילו, גרם והשימוש בהם.

חשבון בכיתות ד'-ה'

בהגיעם לשנתם התשיעית עוברים הילדים שינוי מכריע. יחסם הקרוב לעולם הסובב משתנה ונעשה מרוחק יותר. ההרמוניה הקודמת בין העולם החיצוני לפנימי נשברת לעיתים באופן יסודי. טרנספורמציה זו בנפשם של הילדים משתקפת בתכנית לימודי המתמטיקה כאשר בכיתה ד' הילדים מתחילים לעבוד עם מספרים שבורים (שברים). על ידי כך הם פוגשים בתוכן הלימודי משהו שהם חוו גם בתוכם.

אין זה מהותי עבור ילדים לשלוט במהירות בשברים. חשוב הרבה יותר שיוכלו להתנסות במושג השבר ולהבינו פנימית. בהקשר לכך, ההתפתחות ההיסטורית של חישובי-שברים במצרים תעניק למורה רעיונות לימודיים מעניינים ומשמעותיים. כדי לעשות צדק מלא בנושא השברים מומלץ לעבוד עם שלושת המתודות הבאות בתור מבוא: להתקדם מהשלם לחלקים, מהחלקים לשלם ולבסס את עיקרון שוויון הערך. לאחר מכן מתרגלים את ארבע פעולות החשבון עם שברים, כמו גם צמצום, הרחבה וחילוק של המכנה לגורמים ראשוניים.

אחרי-כן באים השברים העשרוניים בתור יישום מעשי. משעה שגבול החלוקה נחצה יכולים הילדים לגלות את המעשיות של חישובים בכיתה ה'. המטרה לפי שטיינר הינה כדלקמן: "בכיתה ה' אנו רוצים להמשיך עם שברים ושברים עשרוניים כך שנוכל לתת לילדים את כל מה שיאפשר להם לחשב בחופשיות עם מספרים שלמים ושברים"[10].

בכיתה ד' או ה' רישום צורות מוביל לעבר גיאומטריה בסיסית. ניתן להתחיל שוב בקוטביות הקווית הבסיסית של קו מעגלי וישר. בכדי שהתלמידים יקבלו דימוי אינטנסיבי ככל הניתן של צורות אלו, מומלץ שלא ישתמשו בתחילה במחוגה וסרגל, אלא ירשמו ביד חופשית.

על אף העיסוק באלמנטים הבסיסיים ביותר בשיעורי הגיאומטריה הראשונים, חשוב שהתלמידים ירגישו משהו מן המימד הקשור בשאלות קיומיות, מעל ומעבר להיבטים מעשיים ותועלתיים. זה יתרחש ביתר קלות אם נשים דגש על היופי, ועל היחסים והקשרים בין צורות גיאומטריות וזאת בנוסף לחוקים ולמתודות עליהם עובדים.

בהקשר לסיפורים ממצרים העתיקה בשיעורי היסטוריה, ניתן להביא את חבל פיתגורס כמבוא ראשוני למשפט פיתגורס.

הצעות לתוכן:

כיתה ד' 

כיתה ה'

הנדסה:

(ברוב בתי הספר מתחילים עם בניות הנדסיות רק בכיתה ו')

המטרה העיקרית החדשה עבור כיתה ה' היא ללמוד לעשות שימוש מדויק במחוגה, אם כי יש מורים שמעדיפים לחכות לתחילת כיתה ו'. את הצורות שנרשמו קודם לכן בכיתה ד' ניתן כעת לבנות במדויק. הילדים יצבעו בטבעיות את אותן צורות דמויות-פרחים וייצרו בכך הקשר ברור לשיעור-הראשי בבוטניקה בכיתה ה'.

ניתן להשתמש גם במשולש-סרטוט ובסרגל עבור רישום מדויק של ישרים מקבילים.

רשימה לכיתות ד'-ה' – ידיעת חשבון

מרבית הילדים בטווח היכולת הרגיל יהיו מסוגלים לכך:

מספרים

ד' – לבצע בביטחון את כל ארבע הפעולות החשבוניות

ד' – קריאת והבנת מספרים עד ל-6 ספרות

ד' – ידיעת לוח הכפל עד 12 באופן רציף ובטוח

ד' – כפל ארוך עם מספרים עד 122 בתור מכפיל

ד' – למצוא גורמים של מספר נתון

ד' – זיהוי מספרים ראשוניים בטווח פחות ממאה

ד'-ה' – להשיב על שאלות מורכבות יותר של חשבון בעל-פה, שכוללות פעולות מעורבות (למשל, הרכבת לחיפה שיוצאת ב-12.38, נוסעת 18 דקות, אך יצאה הפעם באיחור של 14 דקות, מתי תגיע ליעדה? או אני מכפיל מספר בשניים, מוסיף 8 ומגיע ל-32, מה היה המספר?)

ד'-ה' – עריכת חילוק ארוך כולל שימוש בשארית ואומדן תשובות משוערות.

ד'-ה' – מציאת כפולה משותפת נמוכה ביותר או גורמים משותפים גבוהים ביותר

ה' – שימוש בכל ארבע הפעולות עם שברים כולל מספרים מעורבים ושברים מדומים

ה' – להבין כיצד להשתמש בסימון עשרוני, שברים עשרוניים וחילוף בין שברים עשרוניים לשברים רגילים

ה' – ביצוע ארבע הפעולות החשבוניות עם שברים עשרוניים.

ה' – ביצוע חילוק ארוך וכפל תוך שימוש בנקודה עשרונית.

ה' – יישום חוק השלושה (אם, אזי, לכן) לבעיות מעשיות.

מדידה

ד' – רישום נתונים כגון גובה, משקל, נפח ועוד

ה' – עבודה עם מדידה מטרית כולל הערכה

ה' – עבודה עם היבטים של זמן כולל שעון 24 שעות.

ה'-ו' – חישוב מהירויות ממוצעות.

גיאומטריה

ה' – רישום ביד חופשית של צורות גיאומטריות אב-טיפוסיות: סוגים שונים של משולשים, מלבנים, מרובעים, מצולעים ומעגלים

ה' – חלוקת מעגל ל-17, 16 או 20 חלקים, גזירת צורות משוכללות מתוכם, כגון מחומש  ומשושה

חשבון בכיתות ו'-ח'

נקודות מבט ונושאים כלליים

עד עתה, תהליך בניית המושגים המתמטיים ניתן באופן תמונתי בהתבסס על פנייה לנפש הילד. עתה, לאחר שנתם ה-12 יכולים הילדים ליצור סדר בכל מה שרכשו בעזרת יכולתם לחוות הגיון פנימי וקשרים מחשבתיים יותר מופשטים. שלב זה מודגם באלגברה. הוא מוביל מפעילות חישובית, דרך התבוננות בתהליכים (דרכי הפתרון), לעבר גילוי יחסים כלליים.

מטרת הנוסחה האלגברית,- חישוב בעזרת אותיות האלפבית – הינה לבטא תהליכים פורמליים ברורים. זהו שלב חשוב קדימה בהתפתחות הילד שבו רק דרך הפתרון  מנוסחת. שלב זה מסייע למעבר מחשיבה תמונתית לחשיבה מושגית. התהליך: תיאור של בעיה ממשית, פתרון הבעיה, האישור לתוקף מתודת הפתרון – ולבסוף ישימות החוק שהתגלה. בכל אלה יתנסו הילדים במצבים רבים ומגוונים.

כאשר הילדים קרבים לגיל ההתבגרות חיי הרגש שלהם מתרחבים בכל הכיוונים. מתמטיקה יכולה להציע סיוע חשוב בשלב חיים זה. דעותיהם ורעיונותיהם הסובייקטיביים חשובים כמובן אבל בתחום זה משניים. מתמטיקה מושכת את תשומת לבם לא רק לנושא המספרי אלא במיוחד לחשיבתם העצמית. במידה ומצליחים התלמידים לרכוש ביטחון ביחס לחוקים מתמטיים, הם גם רוכשים ביטחון עצמי. כשדבר זה מושג, נמצאים הצעירים בדרך למטרה החשובה ביותר בהוראת מתמטיקה: פיתוח אמון בחשיבה.

חשוב לקשור את יכולות החשיבה המתעוררת לגילוי עניין בעולם במצבי חיים מעשיים וחיוניים, אחרת יש לה נטייה לסוב את האישיות ולהסתגר. המאמצים לפתור בעיות הם אתגר ראוי אלא שיש לראות שלא יביאו לוויתור בגישה של 'אני לא מסוגל לעשות זאת'. שכן אז שיעורי מתמטיקה ישיגו בדיוק את מה שאינם אמורים להשיג. במקום הנאה וביטחון, הם ייצרו שעמום וייאוש. כמעט ואין נושא שגורם להזדהות כה ישירה עם יכולת לימודית ואינטליגנציה כמו מתמטיקה. 'לוותר' כאן או להיות עם בעיות משמעותם לוותר באופן כללי ופשוט להיות 'טיפש'.

מסיבה זו כיתות עם כישורים מעורבים מאתגרות במיוחד את המורה מבחינה מתודית ולעתים אף בנקיטת צעדים מתקנים. פעמים רבות על המורה לעשות פעילויות שונות עבור קבוצות תלמידים אלו או אחרות, ולעיתים גם עבור תלמיד/ה בודד/ת. למרות שכולם חייבים להתמודד עם השאלות המתמטיות הבסיסיות, יש לראות כיצד יוצרים ביטחון והרגשה של יכולת בקרב כל תלמידי הכיתה.

התרגול ועבודת החישוב מחנכים את הרצון במישור החשיבה. מסיבה זו מצטרפים שיעורי תרגול לשיעורים-הראשיים (ז.א. הלימוד ממשיך להיעשות בתקופות לימוד מרוכזות של מספר שבועות אבל מצטרפים לתקופות גם שיעורי תרגול שבועיים) מסביבות כיתה ד', ה' ואילך.

הדיוק והיופי של צורות גיאומטריות יכולים להנחות את התלמידים למודעות גדולה יותר. במה שהתנסו מתוך פליאה בגיאומטריה בכיתה ה', עובר לעבודת חשיבה ומודעות בכיתות ו', ז' ו-ח'. התלמידים מחפשים ומנסחים חוקים גיאומטריים. הם חייבים גם להתנסות כיאות בהוכחות גיאומטריות. כאשר הם מפתחים את אופני הדיבור והביטוי האינדיבידואליים שלהם, חשוב שיוכלו להתנסות במשהו מעין זה, שהוא חופשי לחלוטין מרגש ועוסק כל כולו במה שחייב להיות. בכיתה ח' ניתן בסיוע הנושא החדש של חתכי-חרוט להתקרב לבעיית האינסופיות, כפי שנעשה קודם לכן עם מקבילים. האינסופיות עדיין לא מנוסחת באופן ספציפי.

הצעות לתוכן

כיתה ו'

גיאומטריה

 כיתה ז'

אלגברה

גיאומטריה

כיתה ח'

חזרה

אלגברה

גיאומטריה

רשימה עבור כיתות ו'-ח' – ידיעת חשבון

מרבית הילדים בטווח היכולת הרגיל יהיו מסוגלים לכך:

מספרים

נתונים

גיאומטריה

[1] Baravalle, H. Methodishe Gesichtspunkte fuer den Aufbau des Rechenunterrirchts und Waldorfschulplan, Stuttgart, 1984

[2] Schubert, E. Wie koennen wir durch den Mathematik-unterricht erzieherisch wirken?, in Erziehungskunst Book 4, 1976

[3] שם

[4] תחום רישום הצורות הוא ייחודי לחינוך ולדורף ומתורגל בכיתות הראשונות של בית הספר היסודי (ראה קטגוריה מתאימה בתוכנית הלימודים).

[5] Ulin, B., Finding the Path: Themes and Methods for the Teaching of Mathematics in a Waldorf School, AWSNA, 1991

[6] Steiner, R., Soul Economy and Waldorf Education, op. cit., lecture of 31st December 1921

[7] Ulin, B., Finding the Path, op. cit

[8] Steiner, R., Discussions with Teachers op.cit., discussion of 25th August, 1919

[9] Steiner, R., The Kingdom of Childhood op.cit., lecture of 16th August 1924

[10] Steiner, R., The Kingdom of Childhood op.cit., lecture of 16th August 1924.